Galerie des Patterns Unifiés
Engendrés par mélange de teintes sur les familles de calques — sélectionnez un motif pour voir son pavage.
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La Livrée d'Hermès est un livre de philosophie et de mathématiques, disponible en accès libre au lien ci-dessous. Il est centré sur la construction des carrés magiques et leur transcription en tissage Jacquard.
1024 compte les constructions (famille × couple de teintes × hexagramme), pas les formes : plusieurs constructions peuvent dessiner la même grille, ou une grille et son décalé d'une demi-période le même pavage — d'où 512 grilles distinctes et 256 pavages.
- 1 024 constructions — des triplets (famille, couple de teintes, hexagramme) retenus par le critère ci-dessous, sur 8 des 15 familles. Aucune équivalence : chaque triplet compte pour un.
- 512 grilles distinctes — les constructions qui dessinent la même grille de 12 × 12 sont comptées une fois.
- 256 pavages — une grille et sa décalée d'une demi-période (6 cases en ligne et en colonne) donnent le même pavage du plan : elles sont comptées ensemble.
- 128 orbites — les 512 grilles distinctes regroupées sous le groupe de symétrie complet (rotations, miroir, demi-décalage) ; chaque orbite contient 4 grilles du corpus.
Le critère exact
Une construction (famille, teinte A, teinte B, hexagramme n) donne la grille g de 12 × 12. Soit d la grille g décalée de 6 cases en ligne et de 6 cases en colonne, en recollant les bords (tore) : d[r][c] = g[(r−6) mod 12][(c−6) mod 12]. Soit s la grille du même hexagramme dont les deux teintes A et B sont échangées. La construction est retenue si et seulement si d = s, case par case, sans exception.
C'est le critère du demi-décalage, tel que le calcule tools/filtre_unified.py (il retient 1 024 constructions sur 8 familles) ; tools/cube_edges.py en vérifie les conséquences (512 grilles distinctes, 256 pavages, 128 orbites).
Intuition, sans valeur de définition : « les coins font écho au centre » — le décalage d'une demi-période amène le centre sur les coins, et le critère demande que ce décalage revienne à échanger les deux teintes.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que les Unified Patterns ?＋
Les Unified Patterns sont des cellules de tessellation où les coins font écho au centre, afin de générer la fréquence d'un seul motif.
Quelles sont les contraintes de création des Unified Patterns ?＋
Deux contraintes définissent un Unified Pattern. La première : associer une seule et même teinte aux deux moitiés de 6 niveaux d'une famille produit une grille équilibrée. La seconde : les bords de la grille doivent faire écho au centre.
Comment les Unified Patterns sont-ils identifiés parmi les grilles équilibrées ?＋
La première contrainte (teinte unique sur les deux moitiés de 6 niveaux) isole 8 des 15 familles comme Unified Patterns, au sein des 512 grilles distinctes que le système engendre. C'est ce qui permet de distinguer, parmi toutes les grilles équilibrées, celles qui sont spécifiquement des Unified Patterns.
Comment ces familles sont-elles classifiées ?＋
La classification utilise le système Jacquard pour engendrer et organiser les familles équilibrées et les Unified Patterns. Le chapitre VII de La Livrée d'Hermès est consacré à la classification binaire de ces familles.
Sur quelle harmonie ce système a-t-il été vérifié ?＋
Par deux voies indépendantes. La fermeture sur le cube (règle d'arête) : les grilles dont l'habillage respecte la continuité d'une arête à l'autre closent le cube. Et le compte d'orbites sous le groupe complet de symétrie (rotations, miroir, demi-décalage) : les 512 grilles distinctes se répartissent en 128 orbites — le demi-décalage d'une grille (translation d'une demi-période) laisse toujours son pavage inchangé.
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