Cimática — escalas y frecuencias
El vocabulario no se elige, se engendra. Basta una sola operación — duplicar el desplazamiento de una recta respecto al centro del cuadrado — y el origen tampoco es libre: un nivel que el duplicado deja fijo no tiene antecedente fuera de sí mismo, así que no puede engendrarse y debe postularse. Hay exactamente dos, 0° y 120°, el segundo existe porque 3 divide a 12. Partiendo de esos dos y deshaciendo el duplicado, los desplazamientos ortogonales se cierran en dos pasos sobre los 24 posibles, y los diagonales en tres — rombo inscrito incluido, que pertenece al vocabulario sin estar trazado.
Y este vocabulario engendrado coincide, recta por recta, con las curvas de nivel de una sola función: cos(πx/3), cortada a siete alturas. Esa función es una función propia exacta — no una aproximación — de una placa cuadrada de bordes guiados: exacta tal cual para las familias ortogonales, y por par degenerado (suma o diferencia de los modos (m, n) y (n, m), en el sentido de Colwell) para las familias diagonales. La correspondencia deja entonces de ser un parecido medido por transformada de Fourier.
Lo que queda fuera de alcance se dice más abajo, y conviene leerlo: no se ha hecho ninguna medición, y de los siete niveles solo uno es una línea nodal.
El detalle, con la verificación →
Una sola onda, siete cortes
Las ocho familias ortogonales son las líneas donde cos(πx/3) vale cos θ, para θ múltiplo de 30°:
La mutación es la reflexión del ángulo alrededor de 90°, es decir, el intercambio de las dos fases de la onda. No es una convención de nomenclatura: como el duplicado es dos a uno, todo antecedente llega por pares, y la base y su mutante son las dos ramas del inverso.
Dos sistemas exactos, dos leyes
El producto cos(πx/3)·cos(πy/3) es una función propia exacta de dos problemas distintos:
- la placa de Kirchhoff con bordes guiados, ecuación biarmónica, cuyo espectro da f ∝ m² + n²;
- la cavidad acústica rectangular de paredes rígidas, ecuación de Helmholtz con condición de Neumann, cuyo espectro da f ∝ √(m² + n²).
La condición de contorno se satisface idénticamente en ambos casos. La placa de bordes guiados no es la de las demostraciones clásicas, de bordes libres, donde el producto de cosenos es solo una aproximación; la cavidad, en cambio, es cualquier caja rectangular. El resultado de cavidad supone un índice vertical nulo: una caja plana, o una excitación por debajo del primer corte vertical — más allá, un tercer término se añade al espectro.
Los dos problemas comparten sus funciones propias pero no sus espectros, lo que da una prueba en una sola cifra:
En los tres valores que son cuadrados perfectos, la ley de placa da 128, 512, 1152 — razones 1 : 4 : 9. La ley de cavidad da 128, 256, 384, es decir, do, su octava, y la quinta por encima: razones 1 : 2 : 3, la serie armónica.
El diapasón a 128 Hz es una calibración en ambos casos: fija el tamaño del sistema, no la geometría. Lo que no es una calibración es la elección entre las dos leyes — y esa se mide.
Esta página cuenta los periodos enteros sobre las doce casillas de la cuadrícula, lo que da k² = 8 para la figura de desplazamientos 0 y 3. La convención de las placas cuenta las semilongitudes de onda sobre el lado, lo que da para la misma figura el modo (4,4) y k² = 32. Ambas están ligadas por k²(cuadrícula) = (m² + n²) ⁄ 4.
Hay dos modos en juego y no están a la misma frecuencia: la portadora (4,0), que es la flexión a una dimensión y porta los siete niveles, y la figura (4,4), cuyo conjunto nodal es el nivel cero y que la arena dibujaría. Bajo la ley de placa su razón vale 2, bajo la ley de cavidad √2. Es una segunda prueba discriminante.
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Las quince escalas
El diapasón elegido aquí, para las dos escalas, toma como referencia el do a 128 Hz — una octava por debajo del do a 256 Hz que Joseph Sauveur propuso en 1713 ante la Academia Real de Ciencias, por una razón sencilla: duplicar 1 varias veces seguidas coloca todas las octavas en números enteros. Se lo llamó el diapasón filosófico. Cada escala lleva dos valores, medidos por separado en sus dos generaciones — T1 y bandas — cuyas frecuencias espaciales dominantes se solapan ampliamente en lugar de formar dos registros distintos. Los dieciséis valores medidos (los cuadrados de frecuencia espacial, reunidos de las dos generaciones) son en sí mismos enteros, pero eso es una propiedad de la medición y no del motivo: una transformada de Fourier sobre una cuadrícula de doce casillas solo puede devolver enteros. Lo que no está vacío, en cambio, es que esos enteros son los m² + n² de un modo propio exacto — y esa coincidencia se verifica línea por línea, no mediante una transformada. En la escala proporcional, cada valor cae entonces exactamente en 128 veces un entero, sin resto. Otro diapasón funcionaría igual de bien; este hace legible la estructura.
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Lo que no está establecido
Solo uno de los siete cortes es una línea nodal — el de 90°. Los otros seis son líneas de isoamplitud: la arena no las mostraría. No por ello son invisibles: la interferometría holográfica de promedio temporal, y la ESPI, producen franjas que son precisamente curvas de isoamplitud. Y en un estanque de agua, la elevación de la superficie es el modo: los siete niveles son allí líneas de isoelevación, visibles bajo luz rasante. Un estanque de agua añade un tercer sistema, pero no una tercera prueba: el oleaje allí es dispersivo, ω² = g·k·tanh(k·h), y los tres sistemas comparten la figura, no el espectro — la razón que distingue placa de cavidad no se traslada a él.
Las familias diagonales no son los cortes de un modo guiado. En las diagonales, el vocabulario toma los desplazamientos módulo 6 y la función solo está definida salvo el signo: solo hay cuatro niveles diagonales, |φ| = 1, √3/2, ½ y 0. Dos de ellos son conjuntos nodales de las combinaciones degeneradas cos(4πx/a) ± cos(4πy/a) — el mecanismo que Colwell describió en 1933: T1 YANG MUT (nivel 0) para la suma, T1 YANG (nivel 1, desplazamientos 0 y ±3) para la diferencia. Los otros dos niveles diagonales no tienen ningún modo de placa detrás.
No se ha hecho ninguna medición física. Todo lo aquí planteado es cálculo sobre las láminas publicadas y verificación simbólica. El experimento más económico es una cubeta rectangular, un altavoz debajo y una luz rasante; distingue entre las dos leyes de frecuencia. Una figura de Chladni depende de la geometría del recipiente, de la profundidad, de la tensión superficial; nada aquí lo sustituye.
