ไซแมติกส์ — บันไดเสียงและความถี่
คำศัพท์ของระบบนี้ไม่ได้ถูกเลือก แต่ถูกสร้างขึ้น เพียงหนึ่งกระบวนการก็เพียงพอ — การเพิ่มระยะเยื้องของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสองเท่า — และจุดเริ่มต้นก็ไม่ได้เป็นอิสระเช่นกัน ระดับที่การเพิ่มเป็นสองเท่านั้นคงที่ไม่มีจุดกำเนิดอื่นนอกจากตัวมันเอง จึงไม่สามารถถูกสร้างขึ้นได้ ต้องถูกกำหนดขึ้นเอง มีอยู่สองระดับเช่นนี้พอดี คือ 0° และ 120° ระดับที่สองมีอยู่เพราะ 3 หาร 12 ลงตัว เริ่มจากสองระดับนี้แล้วย้อนกลับการเพิ่มเป็นสองเท่า ระยะเยื้องแนวตั้งฉากจะปิดวงจรครบทั้ง 24 ค่าภายในสองขั้นตอน ส่วนแนวทแยงปิดวงจรภายในสามขั้นตอน — รวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่แนบใน ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคำศัพท์นี้โดยไม่ต้องถูกลากเส้น
และคำศัพท์ที่ถูกสร้างขึ้นนี้ตรงกัน เส้นต่อเส้น กับเส้นระดับของฟังก์ชันเดียว คือ cos(πx/3) ที่ถูกตัดที่ความสูงเจ็ดระดับ ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันไอเกนที่แม่นตรง — ไม่ใช่การประมาณ — ของแผ่นเพลตสี่เหลี่ยมขอบนำ: แม่นตรงโดยตรงสำหรับตระกูลตั้งฉาก และโดยคู่เสื่อมถอย (ผลรวมหรือผลต่างของโหมด (m, n) และ (n, m) ตามแนวคิดของ Colwell) สำหรับตระกูลทแยงมุม ความสอดคล้องนี้จึงไม่ใช่ความคล้ายคลึงที่วัดได้ด้วยการแปลงฟูริเยร์อีกต่อไป
สิ่งที่ยังอยู่นอกเหนือขอบเขตจะกล่าวถึงด้านล่าง และควรอ่าน คือ ยังไม่มีการวัดใด ๆ เกิดขึ้น และในเจ็ดระดับมีเพียงหนึ่งเดียวที่เป็นเส้นโหนด
คลื่นเดียว เจ็ดภาคตัด
แปดตระกูลตั้งฉากคือเส้นที่ cos(πx/3) มีค่าเท่ากับ cos θ เมื่อ θ เป็นจำนวนเท่าของ 30° ดังนี้:
การกลายพันธุ์คือการสะท้อนมุมรอบ 90° กล่าวคือการสลับเฟสทั้งสองของคลื่น มันไม่ใช่แค่ข้อตกลงในการตั้งชื่อ เพราะการเพิ่มเป็นสองเท่านั้นเป็นแบบสองต่อหนึ่ง จุดกำเนิดทุกจุดจึงมาเป็นคู่เสมอ และตระกูลต้นแบบกับตระกูลกลายพันธุ์คือสองแขนงของผลผกผันนั้น
สองระบบที่แม่นตรง สองกฎ
ผลคูณ cos(πx/3)·cos(πy/3) เป็นฟังก์ชันไอเกนที่แม่นตรงของปัญหาสองแบบที่ต่างกัน:
- แผ่นเพลตของเคียร์ชอฟฟ์ที่มีขอบแบบนำทาง สมการไบฮาร์มอนิก ซึ่งสเปกตรัมให้ f ∝ m² + n² ;
- โพรงเสียงทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีผนังแข็ง สมการเฮล์มโฮลทซ์พร้อมเงื่อนไขนอยมันน์ ซึ่งสเปกตรัมให้ f ∝ √(m² + n²)
เงื่อนไขขอบเขตเป็นจริงเหมือนกันทั้งสองกรณี แผ่นเพลตขอบแบบนำทางไม่ใช่แผ่นเพลตในการสาธิตแบบคลาสสิกที่มีขอบอิสระ ซึ่งผลคูณโคไซน์เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น ส่วนโพรงเสียงนั้นคือกล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าใด ๆ ก็ได้ ผลลัพธ์ของโพรงเสียงตั้งอยู่บนสมมุติฐานว่าดัชนีแนวตั้งเป็นศูนย์ คือกล่องแบนราบ หรือการกระตุ้นที่ต่ำกว่าความถี่ตัดแนวตั้งแรก — เกินกว่านั้น จะมีพจน์ที่สามเพิ่มเข้าไปในสเปกตรัม
ปัญหาทั้งสองมีฟังก์ชันไอเกนร่วมกันแต่ไม่มีสเปกตรัมร่วมกัน ซึ่งให้การทดสอบด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว:
ในสามค่าที่เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ กฎแผ่นเพลตให้ 128, 512, 1152 — อัตราส่วน 1 : 4 : 9 ส่วนกฎโพรงเสียงให้ 128, 256, 384 นั่นคือโด อ็อกเทฟของมัน และคู่ห้าที่อยู่เหนือขึ้นไป — อัตราส่วน 1 : 2 : 3 อนุกรมฮาร์มอนิก
ส้อมเสียงที่ 128 Hz เป็นการสอบเทียบในทั้งสองกรณี มันกำหนดขนาดของระบบ ไม่ใช่รูปทรงเรขาคณิต สิ่งที่ไม่ใช่การสอบเทียบคือการเลือกระหว่างสองกฎนี้ — และสิ่งนั้นวัดได้
หน้านี้นับคาบเต็มบนสิบสองช่องของกริด ซึ่งให้ k² = 8 สำหรับรูปที่มีระยะเยื้อง 0 และ 3 ข้อตกลงของแผ่นเพลตนับครึ่งความยาวคลื่นตามด้าน ซึ่งให้โหมด (4,4) และ k² = 32 สำหรับรูปเดียวกัน ทั้งสองเชื่อมโยงกันด้วย k²(กริด) = (m² + n²) ⁄ 4
มีสองโหมดที่เกี่ยวข้องและไม่ได้อยู่ที่ความถี่เดียวกัน คือ คลื่นพาหะ (4,0) ซึ่งเป็นการโค้งงอมิติเดียวและถือระดับทั้งเจ็ด กับรูป (4,4) ซึ่งเซตโหนดของมันคือระดับศูนย์และเป็นรูปที่ทรายจะวาดออกมา ภายใต้กฎแผ่นเพลตอัตราส่วนของทั้งสองเท่ากับ 2 ภายใต้กฎโพรงเสียงเท่ากับ √2 นี่คือการทดสอบแยกแยะที่สอง
การฟัง
เครื่องกำเนิดเสียงบริสุทธิ์
สำหรับทดลองโดยไม่ต้องใช้ไมโครโฟนหรืออุปกรณ์ — ความถี่ที่เลือกจะควบคุมลวดลายโดยตรง
บันไดเสียงทั้งสิบห้า
ส้อมเสียงที่เลือกใช้ที่นี่ สำหรับทั้งสองมาตราส่วน ใช้โดที่ 128 Hz เป็นจุดอ้างอิง — ต่ำกว่าโดที่ 256 Hz ที่โจเซฟ โซเวอร์เสนอในปี 1713 ต่อราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์หนึ่งอ็อกเทฟ ด้วยเหตุผลง่าย ๆ คือ การเพิ่ม 1 เป็นสองเท่าซ้ำหลายครั้งจะวางทุกอ็อกเทฟไว้บนจำนวนเต็ม เรียกกันว่าส้อมเสียงเชิงปรัชญา แต่ละบันไดเสียงมีสองค่า วัดแยกกันจากสองรุ่นของมัน คือ T1 และแถบ ซึ่งความถี่เชิงพื้นที่เด่นของทั้งสองซ้อนทับกันอย่างมาก แทนที่จะแยกเป็นสองช่วงต่างหาก สิบหกค่าที่วัดได้ (กำลังสองของความถี่เชิงพื้นที่ รวมจากทั้งสองรุ่น) ล้วนเป็นจำนวนเต็มในตัวเอง แต่นั่นเป็นคุณสมบัติของการวัด ไม่ใช่ของลวดลาย เพราะการแปลงฟูริเยร์บนกริดสิบสองช่องให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น สิ่งที่ไม่ธรรมดาคือจำนวนเต็มเหล่านี้คือค่า m² + n² ของโหมดไอเกนที่แม่นตรง — และความสอดคล้องนี้ตรวจสอบได้ทีละเส้น ไม่ใช่ด้วยการแปลง ในมาตราส่วนตามสัดส่วน แต่ละค่าจึงตกลงพอดีที่ 128 คูณจำนวนเต็ม โดยไม่มีเศษเหลือ ส้อมเสียงอื่นก็ใช้ได้ดีเช่นกัน แต่ส้อมเสียงนี้ทำให้โครงสร้างอ่านได้ชัดเจน
—
สิ่งที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์
มีเพียงหนึ่งในเจ็ดภาคตัดเท่านั้นที่เป็นเส้นโหนด — คือภาคตัดที่ 90° อีกหกภาคตัดที่เหลือเป็นเส้นแอมพลิจูดเท่ากัน ซึ่งทรายจะไม่แสดงให้เห็น แต่นั่นไม่ได้หมายความว่ามองไม่เห็นเลย อินเตอร์เฟอโรเมทรีแบบโฮโลกราฟิกค่าเฉลี่ยตามเวลา และ ESPI ให้แถบลายที่เป็นเส้นแอมพลิจูดเท่ากันโดยตรง และในบ่อน้ำ การยกตัวของผิวน้ำคือโหมดนั้นเอง เจ็ดระดับที่นั่นเป็นเส้นระดับความสูงเท่ากัน มองเห็นได้ภายใต้แสงเฉียง บ่อน้ำเพิ่มระบบที่สามเข้ามา แต่ไม่ได้เพิ่มการทดสอบที่สาม เพราะการกระเพื่อมของน้ำมีลักษณะกระจายความถี่ ω² = g·k·tanh(k·h) ทั้งสามระบบมีรูปร่วมกัน แต่ไม่มีสเปกตรัมร่วมกัน — อัตราส่วนที่แยกแผ่นเพลตจากโพรงเสียงจึงไม่สามารถนำไปใช้กับบ่อน้ำได้
ตระกูลแนวทแยงไม่ใช่ภาคตัดของโหมดแบบนำทาง บนแนวทแยง คำศัพท์ใช้ระยะเยื้องแบบมอดุโล 6 และฟังก์ชันถูกกำหนดได้เพียงจนถึงเครื่องหมายเท่านั้น มีระดับแนวทแยงเพียงสี่ระดับ คือ |φ| = 1, √3/2, ½ และ 0 สองในนั้นเป็นเซตโหนดของผลรวมเสื่อมสภาพ cos(4πx/a) ± cos(4πy/a) — กลไกที่โคลเวลล์อธิบายไว้ในปี 1933 ได้แก่ T1 YANG MUT (ระดับ 0) สำหรับผลบวก และ T1 YANG (ระดับ 1 ระยะเยื้อง 0 และ ±3) สำหรับผลต่าง ส่วนอีกสองระดับแนวทแยงที่เหลือไม่มีโหมดแผ่นเพลตใด ๆ อยู่เบื้องหลัง
ยังไม่มีการวัดทางกายภาพใด ๆ เกิดขึ้น ทุกสิ่งที่นำเสนอในที่นี้เป็นการคำนวณจากแผ่นภาพที่เผยแพร่แล้วและการพิสูจน์เชิงสัญลักษณ์เท่านั้น การทดลองที่ประหยัดที่สุดคือถาดสี่เหลี่ยมผืนผ้า ลำโพงด้านล่าง และแสงเฉียง ซึ่งจะแยกแยะระหว่างสองกฎความถี่ได้ รูปแบบคลาดนีขึ้นอยู่กับรูปทรงของภาชนะ ความลึก และแรงตึงผิว ไม่มีสิ่งใดในที่นี้ทดแทนสิ่งนั้นได้
