Cymatique — gammes et fréquences
Le vocabulaire n'est pas choisi, il est engendré. Une seule opération suffit — doubler l'écart d'une droite par rapport au centre du carré — et l'origine n'est pas libre non plus : un niveau que le doublement laisse en place n'a pas d'antécédent ailleurs qu'en lui-même, donc il ne peut pas être engendré et doit être posé. Il y en a exactement deux, 0° et 120°, le second existant parce que 3 divise 12. En partant de ces deux-là et en remontant le doublement, les écarts orthogonaux se referment en deux étapes sur les 24 possibles, et les diagonaux en trois — losange inscrit compris, qui appartient au vocabulaire sans être tracé.
Et ce vocabulaire engendré coïncide, droite par droite, avec les lignes de niveau d'une seule fonction : cos(πx/3), coupée à sept hauteurs. Cette fonction est une fonction propre exacte — pas une approximation — de deux systèmes physiques différents. La correspondance n'est donc plus une ressemblance mesurée par transformée de Fourier.
Ce qui reste hors de portée est dit plus bas, et il faut le lire : aucune mesure n'a été faite, et sur les sept niveaux un seul est une ligne nodale.
Le détail, avec la vérification →
Une seule onde, sept coupes
Les huit familles orthogonales sont les lignes où cos(πx/3) vaut cos θ, pour θ multiple de 30° :
La mutation est la réflexion de l'angle autour de 90°, c'est-à-dire l'échange des deux phases de l'onde. Elle n'est pas une convention de nommage : le doublement étant deux-à-un, tout antécédent vient par paires, et base et mutante sont les deux branches de l'inverse.
Deux systèmes exacts, deux lois
Le produit cos(πx/3)·cos(πy/3) est une fonction propre exacte de deux problèmes différents :
- la plaque de Kirchhoff à bords guidés, équation biharmonique, dont le spectre donne f ∝ m² + n² ;
- la cavité acoustique rectangulaire à parois rigides, équation de Helmholtz avec condition de Neumann, dont le spectre donne f ∝ √(m² + n²).
La condition aux limites est satisfaite identiquement dans les deux cas. La plaque à bords guidés n'est pas celle des démonstrations classiques, à bords libres, où le produit de cosinus n'est qu'une approximation ; la cavité, elle, est n'importe quelle boîte rectangulaire. Le résultat de cavité suppose un indice vertical nul : une boîte plate, ou une excitation sous la première coupure verticale — au-delà, un troisième terme s'ajoute au spectre.
Les deux problèmes partagent leurs fonctions propres et pas leurs spectres, ce qui donne un test à un seul chiffre :
Sur les trois valeurs qui sont des carrés parfaits, la loi de plaque donne 128, 512, 1152 — rapports 1 : 4 : 9. La loi de cavité donne 128, 256, 384, c'est-à-dire do, son octave, et la quinte au-dessus : rapports 1 : 2 : 3, la série harmonique.
Le diapason à 128 Hz est une calibration dans les deux cas : il fixe la taille du système, pas la géométrie. Ce qui n'est pas une calibration, c'est le choix entre les deux lois — et il se mesure.
Cette page compte les périodes entières sur les douze cases de la grille, ce qui donne k² = 8 pour la figure d'écarts 0 et 3. La convention des plaques compte les demi-longueurs d'onde sur le côté, ce qui donne pour la même figure le mode (4,4) et k² = 32. Les deux sont liés par k²(grille) = (m² + n²) ⁄ 4.
Deux modes sont en jeu et ne sont pas à la même fréquence : la porteuse (4,0), qui est la flexion à une dimension et porte les sept niveaux, et la figure (4,4), dont l'ensemble nodal est le niveau zéro et que du sable dessinerait. Sous la loi de plaque leur rapport vaut 2, sous la loi de cavité √2. C'est un second test discriminant.
Écoute
Générateur de sons purs
Pour tester sans micro ni matériel — la fréquence choisie pilote directement le pavage.
Les quinze gammes
Le diapason retenu ici, pour les deux échelles, prend pour repère le do à 128 Hz — une octave sous le do à 256 Hz que Joseph Sauveur propose en 1713 devant l'Académie royale des sciences, pour une raison simple : doubler 1 plusieurs fois de suite place toutes les octaves sur des nombres entiers. On l'a appelé le diapason philosophique. Chaque gamme porte deux valeurs, mesurées séparément sur ses deux générations — T1 et bandes — dont les fréquences spatiales dominantes se chevauchent largement plutôt que de former deux registres distincts. Les seize valeurs mesurées (les carrés de fréquence spatiale, réunies des deux générations) sont elles-mêmes des entiers, mais c'est une propriété de la mesure et non du motif : une transformée de Fourier sur une grille de douze cases ne peut rendre que des entiers. Ce qui n'est pas vide, en revanche, est que ces entiers sont les m² + n² d'un mode propre exact — et cette coïncidence-là se vérifie ligne par ligne, pas par une transformée. Dans l'échelle proportionnelle, chaque valeur tombe alors exactement à 128 fois un entier, sans reste. Un autre diapason conviendrait aussi bien ; celui-ci rend la structure lisible.
—
Ce qui n'est pas établi
Une seule des sept coupes est une ligne nodale — celle de 90°. Les six autres sont des lignes d'iso-amplitude : du sable ne les montrerait pas. Elles ne sont pas invisibles pour autant : l'interférométrie holographique en moyenne temporelle, et l'ESPI, produisent des franges qui sont précisément des courbes d'iso-amplitude. Et dans un bassin d'eau, l'élévation de surface est le mode : les sept niveaux y sont des lignes d'iso-élévation, visibles sous une lumière rasante. Un bassin d'eau ajoute un troisième système, mais pas un troisième test : le clapotis y est dispersif, ω² = g·k·tanh(k·h), et les trois systèmes partagent la figure, pas le spectre — le rapport qui départage plaque et cavité ne s'y transporte pas.
Les familles diagonales ne sont pas les coupes d'un mode guidé. Sur les diagonales, le vocabulaire prend les écarts modulo 6 et la fonction n'est définie qu'au signe près : il n'y a que quatre niveaux diagonaux, |φ| = 1, √3/2, ½ et 0. Deux d'entre eux sont des ensembles nodaux des combinaisons dégénérées cos(4πx/a) ± cos(4πy/a) — le mécanisme que Colwell a décrit en 1933 : T1 YANG MUT (niveau 0) pour la somme, T1 YANG (niveau 1, écarts 0 et ±3) pour la différence. Les deux autres niveaux diagonaux n'ont aucun mode de plaque derrière eux.
Aucune mesure physique n'a été faite. Tout ce qui est avancé ici est du calcul sur les planches publiées et de la vérification symbolique. L'expérience la moins coûteuse est un bac rectangulaire, un haut-parleur dessous et une lampe rasante ; elle départage les deux lois de fréquence. Une figure de Chladni dépend de la géométrie du récipient, de la profondeur, de la tension superficielle ; rien ici ne le remplace.