Carré magique d'ordre 6

Pourquoi la somme vaut 111

Les trente-six nombres de 1 à 36 totalisent 36 × 37 / 2 = 666. Six lignes de somme égale se partagent ce total, donc chaque ligne vaut 666 / 6 = 111. En général la constante magique d'un carré d'ordre n vaut M = n(n²+1)/2 : 15 à l'ordre 3, 34 à l'ordre 4, 65 à l'ordre 5, 111 à l'ordre 6, 505 à l'ordre 10.

Un exemple complet

Voici un carré produit par la méthode, avec la classe de chaque case en petit. Les six lignes, les six colonnes et les deux diagonales valent 111.

Un carré magique d'ordre 6 du protocole, et son étiquetage

36R	2B	3B	34J	5B	31R
7B	29R	9B	10B	26R	30J
13B	14B	22R	21R	23J	18B
24V	20B	16R	15R	17J	19V
25B	11R	28V	27V	8R	12J
6R	35V	33B	4J	32V	1R

Il n'est pas associatif : deux cases opposées par le centre n'y somment pas toujours à 37. Aucun carré magique d'ordre singulièrement pair ne l'est, et c'est un théorème ancien, pas une faiblesse de la méthode.

La construction ponctuelle

Chaque case reçoit une classe parmi quatre, et sa valeur suit de ses coordonnées (r pour la ligne, c pour la colonne, numérotées de 0 à 5) :

B = 6r + c + 1  ·  V = 6r + (5−c) + 1  ·  R = 37 − B  ·  J = 37 − V

B lit la ligne de gauche à droite, V la lit à l'envers, et R et J sont leurs complémentaires à 37. La case (2, 3) du tableau ci-dessus porte la classe R : B vaudrait 6×2 + 3 + 1 = 16, donc R = 37 − 16 = 21. C'est bien la valeur affichée. Aucun calcul n'a eu besoin des autres cases.

Trois conditions pèsent sur l'étiquetage. La première, sur les positions, est nécessaire et suffisante pour que les trente-six nombres soient tous présents une fois. Les deux autres sont des égalités d'effectifs par ligne et par colonne, et c'est la seconde qui sélectionne, à l'ordre 6, exactement les étiquetages intéressants.

Les deux figures de croix ansée

Les cases hors diagonales s'apparient deux à deux : horizontalement quand les deux classes sont partenaires par B ↔ J ou R ↔ V, verticalement sinon. Les traits ainsi tracés dessinent une figure, et à l'ordre 6 il n'y en a que deux — ce qui est démontré, et revérifié par énumération complète.

Les deux sont exactement complémentaires : là où l'une porte un trait horizontal, l'autre porte un trait vertical. Ce n'est pas une symétrie miroir, c'est une antinomie — les deux seules manières de tenir les contraintes, et elles s'excluent case par case. Les points gris marquent les douze cases diagonales, qui ne portent pas de trait.

Chaque ligne porte un seul trait horizontal et chaque colonne un seul trait vertical : nombres impairs, comme les critères l'exigent. Cette parité impaire est précisément ce qui interdit la figure aux ordres 8, 12, 16 — et ce qui l'autorise à 6, 10, 14, 18. Voir la page sur les ordres pairs en général.

Combien y en a-t-il

Les comptes sont exacts et obtenus par énumération complète, en Python sans dépendance.

À l'ordre 6, par énumération exhaustive

étiquetages magiques du protocole	18 432
dont ceux qui respectent l'égalité d'effectifs par colonne	8 192
dont ceux qui pavent par l'alternance de parité	8 192
dont ceux qui portent une croix ansée	8 192
figures de croix ansée distinctes	2

Les trois ensembles de 8 192 coïncident, et vérifiés élément par élément, non en cardinal : à l'ordre 6, la condition de colonne est exactement le critère de pavabilité, et la croix ansée en est la forme dessinée. Aux ordres supérieurs, cette équivalence n'est pas établie. Et 8 192 étiquetages ne portent que 2 figures : chaque figure est réalisée par 4 096 étiquetages, et la répartition est exactement égale.

Les 10 240 autres étiquetages magiques sont magiques sans porter de croix : ils violent l'égalité d'effectifs par colonne, qui n'est donc pas une condition de magicité.

Ce que font les méthodes classiques

L'ordre 6 est le plus petit ordre singulièrement pair — pair sans être divisible par 4 — et c'est le cas réputé difficile. Les méthodes connues sont des procédés :

LUX (Conway)

On construit un carré impair d'ordre 3 puis on remplace chaque case par un bloc 2 × 2 de type L, U ou X selon sa position. Le procédé marche, mais il faut l'exécuter : rien ne donne la valeur d'une case depuis ses coordonnées.

Strachey

On découpe le carré en quatre quadrants d'ordre 3, on les remplit par la méthode des ordres impairs, puis on échange certaines colonnes entre quadrants. Même remarque : c'est une suite d'opérations, avec des cas particuliers sur les lignes centrales.

La méthode des motifs

À deux classes seulement, elle est bien connue et bien formalisée, et elle donne une vraie formule ponctuelle — mais elle n'est documentée que pour les ordres doublement pairs, 4, 8, 12. Le passage à quatre classes est ce qui débloque l'ordre 6.

La différence pratique : ici, pour connaître la case (4, 2), on lit sa classe et on applique la formule. On n'a pas besoin des trente-cinq autres.

Code et données

Tout est vérifiable sans rien installer, en Python nu :

python tools/compte_etiquetages.py --ordre 6   # les 18 432
python tools/enum6.py                          # les 8 192 qui pavent
python tools/croix_auto.py --ordre 6           # l'equivalence triple
python tools/construction.py --toutes          # les 2 figures, construites

Les scripts, les données et la carte de confiance — chaque énoncé classé par son statut — sont dans le dépôt de code. Le corpus de 256 étiquetages d'ordre 6 dont tout ceci est sorti est identifié sur la planche 047 du traité, doi:10.5281/zenodo.22722485.