Carrés magiques d'ordre pair

Ce qu'est le protocole ponctuel

Un carré magique d'ordre pair se construit ici case par case. On étiquette chaque case par l'une de quatre classes — B, R, V, J — et la valeur d'une case ne dépend plus que de ses coordonnées et de sa classe :

B(r,c) = n·r + c + 1  ·  V(r,c) = n·r + (n−1−c) + 1  ·  R = n²+1−B  ·  J = n²+1−V

Pas de suite d'opérations, pas d'ordre de remplissage, pas de retour en arrière : une formule, et la case se calcule sans les autres. Toute la difficulté se déplace dans le choix de l'étiquetage, et c'est là que le résultat ci-dessous intervient.

Une construction pour tout ordre pair

L'existence est résolue, et pour tous les ordres pairs à la fois. Deux branches suffisent, et les deux sont explicites.

Ordres doublement pairs : 4, 8, 12, 16, 20…

Quand 4 divise n, le protocole contient comme sous-cas à deux classes le motif classique de la méthode des motifs :

L(r,c) = B si r mod 4 = c mod 4 ou (r mod 4) + (c mod 4) = 3, et R sinon.

Dans chaque paquet de quatre cases d'une ligne, les deux cases B ont la même somme de résidus que les deux cases R : le paquet somme à 2(n²+1). Il y en a n/4, d'où une somme de ligne égale à la constante magique M = (n/2)(n²+1), et le même calcul vaut par colonne. Sur la diagonale toutes les cases sont B ; sur l'antidiagonale aussi.

Ordres singulièrement pairs : 6, 10, 14, 18, 22…

Quand n ≡ 2 (mod 4) et n ≥ 6, il faut les quatre classes, et la construction passe par la croix ansée : la figure dessinée par les traits qui apparient les cases hors diagonales. Une figure explicite convient à tout ordre — verticale si c ≡ r+1 (mod m) avec m = n/2, horizontale ailleurs. Chaque ligne et chaque colonne du quotient en porte exactement une verticale, donc m−2 horizontales, nombre impair : la figure est admissible, et une règle de signes la réalise.

L'ordre 2

Impossible, et pour une raison qui ne doit rien au protocole. Si un carré 2 × 2 normal de lignes (a, b) et (c, d) avait ses lignes et ses colonnes de même somme, alors a+b = c+d et a+c = b+d ; en soustrayant, b−c = c−b, donc b = c, ce qui contredit la présence d'une seule occurrence de chaque valeur.

La classification des croix ansées

Une figure est une orientation — horizontale ou verticale — de chaque case hors diagonale de la grille quotient m × m, où m = n/2. Elle est candidate quand chaque ligne du quotient porte un nombre impair d'horizontales et chaque colonne un nombre impair de verticales. La question était de savoir lesquelles se réalisent par un étiquetage magique. Elle est tranchée, dans les deux sens :

pour n = 2m ≥ 6, une figure candidate est réalisable si et seulement si m est impair.

Et le nombre de figures de croix ansée vaut donc exactement

N(n) = 2^m²−3m+1 si m est impair, 0 si m est pair.

Nombre de figures de croix ansée par ordre

n	6	10	14	18	22	26	30	42
figures	2	2 048	2²⁹	2⁵⁵	2⁸⁹	2¹³¹	2¹⁸¹	2³⁷⁹

Aux ordres doublement pairs — 8, 12, 16, 20 — il n'y en a aucune, et ce n'est pas un défaut de recherche : une obstruction de parité, locale à une seule paire de lignes, l'interdit à tout ordre doublement pair. Un carré magique y existe quand même, par la branche à deux classes : l'existence d'un carré et l'existence d'une croix ansée sont deux questions distinctes.

À ne pas confondre non plus : le nombre de figures n'est pas le nombre d'étiquetages qui en portent une, bien plus grand — 8 192 étiquetages pour 2 figures à l'ordre 6, et 583 454 127 292 416 pour 2 048 figures à l'ordre 10.

Comment vérifier

Rien ici ne demande de me croire. Le dépôt de code contient des scripts en Python nu, sans dépendance, et chaque énoncé y est classé par son statut — démontré, vérifié exhaustivement, obtenu par solveur, vérifié sur échantillon. Trois commandes suffisent à reproduire l'essentiel :

python tools/construction.py --existence
python tools/construction.py --toutes
python tools/parite.py

La première construit un carré magique à chaque ordre pair de 2 à 52 par la branche qui lui revient, et sort en erreur si l'une échoue. La deuxième reconstruit toutes les figures candidates des ordres 6 et 10 — 2 sur 2, puis 2 048 sur 2 048 — sans solveur. La troisième contrôle l'obstruction de parité sur les 279 616 configurations des ordres 4 à 10.

Questions fréquentes

Quelle est la somme magique d'un carré d'ordre 6 ?

111. La constante vaut M = n(n²+1)/2, soit 6 × 37 / 2 = 111 pour n = 6, et 34 pour n = 4, 505 pour n = 10.

Pourquoi l'ordre singulièrement pair est-il réputé difficile ?

Parce que les méthodes classiques y sont des procédures et non des formules : LUX, Strachey, le découpage en quadrants avec échanges. Elles produisent un carré, pas une règle qui donne la valeur d'une case depuis ses coordonnées.

Ce protocole engendre-t-il tous les carrés magiques ?

Non, et ce serait faux de le prétendre. Les quatre classes n'en atteignent qu'une part : 0, 16, 18 432 et 29 368 076 800 aux ordres 2, 4, 6 et 8. Caractériser et dénombrer ces étiquetages à tout ordre reste un problème ouvert.

Est-ce une méthode nouvelle ?

À notre connaissance, le passage de deux classes à quatre, et le fait qu'il débloque l'ordre singulièrement pair, le sont. La version à deux classes est bien connue — c'est la méthode dite de la table de motifs — mais elle n'est documentée que pour les ordres doublement pairs.