Chladni — บันไดเสียงและความถี่
คำศัพท์ของระบบนี้ไม่ได้ถูกเลือก แต่ถูกสร้างขึ้น เพียงหนึ่งกระบวนการก็เพียงพอ — การเพิ่มระยะเยื้องของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสองเท่า — และจุดเริ่มต้นก็ไม่ได้เป็นอิสระเช่นกัน ระดับที่การเพิ่มเป็นสองเท่านั้นคงที่ไม่มีจุดกำเนิดอื่นนอกจากตัวมันเอง จึงไม่สามารถถูกสร้างขึ้นได้ ต้องถูกกำหนดขึ้นเอง มีอยู่สองระดับเช่นนี้พอดี คือ 0° และ 120° ระดับที่สองมีอยู่เพราะ 3 หาร 12 ลงตัว เริ่มจากสองระดับนี้แล้วย้อนกลับการเพิ่มเป็นสองเท่า ระยะเยื้องแนวตั้งฉากจะปิดวงจรครบทั้ง 24 ค่าภายในสองขั้นตอน ส่วนแนวทแยงปิดวงจรภายในสามขั้นตอน — รวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่แนบใน ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคำศัพท์นี้โดยไม่ต้องถูกลากเส้น
และคำศัพท์ที่ถูกสร้างขึ้นนี้ตรงกัน เส้นต่อเส้น กับเส้นระดับของฟังก์ชันเดียว คือ cos(πx/3) ที่ถูกตัดที่ความสูงเจ็ดระดับ ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันไอเกนที่แม่นตรง — ไม่ใช่การประมาณ — ของแผ่นเพลตสี่เหลี่ยมขอบนำ: แม่นตรงโดยตรงสำหรับตระกูลตั้งฉาก และโดยคู่เสื่อมถอย (ผลรวมหรือผลต่างของโหมด (m, n) และ (n, m) ตามแนวคิดของ Colwell) สำหรับตระกูลทแยงมุม ความสอดคล้องนี้จึงไม่ใช่ความคล้ายคลึงที่วัดได้ด้วยการแปลงฟูริเยร์อีกต่อไป
สิ่งที่ยังอยู่นอกเหนือขอบเขตจะกล่าวถึงด้านล่าง และควรอ่าน คือ ยังไม่มีการวัดใด ๆ เกิดขึ้น และในเจ็ดระดับมีเพียงหนึ่งเดียวที่เป็นเส้นโหนด
คลื่นเดียว เจ็ดภาคตัด
แปดตระกูลตั้งฉากคือเส้นที่ cos(πx/3) มีค่าเท่ากับ cos θ เมื่อ θ เป็นจำนวนเท่าของ 30° ดังนี้:
การกลายพันธุ์คือการสะท้อนมุมรอบ 90° กล่าวคือการสลับเฟสทั้งสองของคลื่น มันไม่ใช่แค่ข้อตกลงในการตั้งชื่อ เพราะการเพิ่มเป็นสองเท่านั้นเป็นแบบสองต่อหนึ่ง จุดกำเนิดทุกจุดจึงมาเป็นคู่เสมอ และตระกูลต้นแบบกับตระกูลกลายพันธุ์คือสองแขนงของผลผกผันนั้น
สองระบบที่แม่นตรง สองกฎ
ผลคูณ cos(πx/3)·cos(πy/3) เป็นฟังก์ชันไอเกนที่แม่นตรงของปัญหาสองแบบที่ต่างกัน:
- แผ่นเพลตของเคียร์ชอฟฟ์ที่มีขอบแบบนำทาง สมการไบฮาร์มอนิก ซึ่งสเปกตรัมให้ f ∝ m² + n² ;
- โพรงเสียงทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีผนังแข็ง สมการเฮล์มโฮลทซ์พร้อมเงื่อนไขนอยมันน์ ซึ่งสเปกตรัมให้ f ∝ √(m² + n²)
เงื่อนไขขอบเขตเป็นจริงเหมือนกันทั้งสองกรณี แผ่นเพลตขอบแบบนำทางไม่ใช่แผ่นเพลตในการสาธิตแบบคลาสสิกที่มีขอบอิสระ ซึ่งผลคูณโคไซน์เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น ส่วนโพรงเสียงนั้นคือกล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าใด ๆ ก็ได้ ผลลัพธ์ของโพรงเสียงตั้งอยู่บนสมมุติฐานว่าดัชนีแนวตั้งเป็นศูนย์ คือกล่องแบนราบ หรือการกระตุ้นที่ต่ำกว่าความถี่ตัดแนวตั้งแรก — เกินกว่านั้น จะมีพจน์ที่สามเพิ่มเข้าไปในสเปกตรัม
ปัญหาทั้งสองมีฟังก์ชันไอเกนร่วมกันแต่ไม่มีสเปกตรัมร่วมกัน ซึ่งให้การทดสอบด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว:
ในสามค่าที่เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ กฎแผ่นเพลตให้ 128, 512, 1152 — อัตราส่วน 1 : 4 : 9 ส่วนกฎโพรงเสียงให้ 128, 256, 384 นั่นคือโด อ็อกเทฟของมัน และคู่ห้าที่อยู่เหนือขึ้นไป — อัตราส่วน 1 : 2 : 3 อนุกรมฮาร์มอนิก
ส้อมเสียงที่ 128 Hz เป็นการสอบเทียบในทั้งสองกรณี มันกำหนดขนาดของระบบ ไม่ใช่รูปทรงเรขาคณิต สิ่งที่ไม่ใช่การสอบเทียบคือการเลือกระหว่างสองกฎนี้ — และสิ่งนั้นวัดได้
หน้านี้นับคาบเต็มบนสิบสองช่องของกริด ซึ่งให้ k² = 8 สำหรับรูปที่มีระยะเยื้อง 0 และ 3 ข้อตกลงของแผ่นเพลตนับครึ่งความยาวคลื่นตามด้าน ซึ่งให้โหมด (4,4) และ k² = 32 สำหรับรูปเดียวกัน ทั้งสองเชื่อมโยงกันด้วย k²(กริด) = (m² + n²) ⁄ 4
มีสองโหมดที่เกี่ยวข้องและไม่ได้อยู่ที่ความถี่เดียวกัน คือ คลื่นพาหะ (4,0) ซึ่งเป็นการโค้งงอมิติเดียวและถือระดับทั้งเจ็ด กับรูป (4,4) ซึ่งเซตโหนดของมันคือระดับศูนย์และเป็นรูปที่ทรายจะวาดออกมา ภายใต้กฎแผ่นเพลตอัตราส่วนของทั้งสองเท่ากับ 2 ภายใต้กฎโพรงเสียงเท่ากับ √2 นี่คือการทดสอบแยกแยะที่สอง
Which figures a plate can show
The vocabulary generates figures by a parity rule, and not all of them are plate figures. Of the fifteen figures given by the four base lines, eleven are exactly the sign sets of exact eigenmodes and four are impossible. The four are not failed searches: they would require a horizontal, a vertical and a diagonal line to meet at one interior point, whereas the nodal branches of a Laplace eigenfunction always cross at equal angles. The impossibility is local and proved, not a computational bound.
The count generalises to every even period. Writing N = 2^a · M with M odd, and taking every complete level read once orthogonally and once diagonally, the number of realisable figures is exactly R(N) = (8a + 3) · τ(M), where τ(M) is the number of divisors of M. Each odd divisor of M contributes a frequency-dilated copy of the same classification. At period 12, the period of the grid, that gives 38 realisable figures out of 16,383 possible chords.
That 38 corrects a 35: the initial search was bounded at indices m, n ≤ 24 and missed three figures, whose representatives sit at indices 36 and 48. An independent search pushed to index 72 recovers all 38. The proof, the four scripts that replay it and the log of every correction are in the deposit.
การฟัง
เครื่องกำเนิดเสียงบริสุทธิ์
สำหรับทดลองโดยไม่ต้องใช้ไมโครโฟนหรืออุปกรณ์ — ความถี่ที่เลือกจะควบคุมลวดลายโดยตรง
บันไดเสียงทั้งสิบห้า
ส้อมเสียงที่เลือกใช้ที่นี่ สำหรับทั้งสองมาตราส่วน ใช้โดที่ 128 Hz เป็นจุดอ้างอิง — ต่ำกว่าโดที่ 256 Hz ที่โจเซฟ โซเวอร์เสนอในปี 1713 ต่อราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์หนึ่งอ็อกเทฟ ด้วยเหตุผลง่าย ๆ คือ การเพิ่ม 1 เป็นสองเท่าซ้ำหลายครั้งจะวางทุกอ็อกเทฟไว้บนจำนวนเต็ม เรียกกันว่าส้อมเสียงเชิงปรัชญา แต่ละบันไดเสียงมีสองค่า วัดแยกกันจากสองรุ่นของมัน คือ T1 และแถบ ซึ่งความถี่เชิงพื้นที่เด่นของทั้งสองซ้อนทับกันอย่างมาก แทนที่จะแยกเป็นสองช่วงต่างหาก สิบหกค่าที่วัดได้ (กำลังสองของความถี่เชิงพื้นที่ รวมจากทั้งสองรุ่น) ล้วนเป็นจำนวนเต็มในตัวเอง แต่นั่นเป็นคุณสมบัติของการวัด ไม่ใช่ของลวดลาย เพราะการแปลงฟูริเยร์บนกริดสิบสองช่องให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น สิ่งที่ไม่ธรรมดาคือจำนวนเต็มเหล่านี้คือค่า m² + n² ของโหมดไอเกนที่แม่นตรง — และความสอดคล้องนี้ตรวจสอบได้ทีละเส้น ไม่ใช่ด้วยการแปลง ในมาตราส่วนตามสัดส่วน แต่ละค่าจึงตกลงพอดีที่ 128 คูณจำนวนเต็ม โดยไม่มีเศษเหลือ ส้อมเสียงอื่นก็ใช้ได้ดีเช่นกัน แต่ส้อมเสียงนี้ทำให้โครงสร้างอ่านได้ชัดเจน
—
สิ่งที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์
มีเพียงหนึ่งในเจ็ดภาคตัดเท่านั้นที่เป็นเส้นโหนด — คือภาคตัดที่ 90° อีกหกภาคตัดที่เหลือเป็นเส้นแอมพลิจูดเท่ากัน ซึ่งทรายจะไม่แสดงให้เห็น แต่นั่นไม่ได้หมายความว่ามองไม่เห็นเลย อินเตอร์เฟอโรเมทรีแบบโฮโลกราฟิกค่าเฉลี่ยตามเวลา และ ESPI ให้แถบลายที่เป็นเส้นแอมพลิจูดเท่ากันโดยตรง และในบ่อน้ำ การยกตัวของผิวน้ำคือโหมดนั้นเอง เจ็ดระดับที่นั่นเป็นเส้นระดับความสูงเท่ากัน มองเห็นได้ภายใต้แสงเฉียง บ่อน้ำเพิ่มระบบที่สามเข้ามา แต่ไม่ได้เพิ่มการทดสอบที่สาม เพราะการกระเพื่อมของน้ำมีลักษณะกระจายความถี่ ω² = g·k·tanh(k·h) ทั้งสามระบบมีรูปร่วมกัน แต่ไม่มีสเปกตรัมร่วมกัน — อัตราส่วนที่แยกแผ่นเพลตจากโพรงเสียงจึงไม่สามารถนำไปใช้กับบ่อน้ำได้
ตระกูลแนวทแยงไม่ใช่ภาคตัดของโหมดแบบนำทาง บนแนวทแยง คำศัพท์ใช้ระยะเยื้องแบบมอดุโล 6 และฟังก์ชันถูกกำหนดได้เพียงจนถึงเครื่องหมายเท่านั้น มีระดับแนวทแยงเพียงสี่ระดับ คือ |φ| = 1, √3/2, ½ และ 0 สองในนั้นเป็นเซตโหนดของผลรวมเสื่อมสภาพ cos(4πx/a) ± cos(4πy/a) — กลไกที่โคลเวลล์อธิบายไว้ในปี 1933 ได้แก่ T1 YANG MUT (ระดับ 0) สำหรับผลบวก และ T1 YANG (ระดับ 1 ระยะเยื้อง 0 และ ±3) สำหรับผลต่าง ส่วนอีกสองระดับแนวทแยงที่เหลือไม่มีโหมดแผ่นเพลตใด ๆ อยู่เบื้องหลัง
ยังไม่มีการวัดทางกายภาพใด ๆ เกิดขึ้น ทุกสิ่งที่นำเสนอในที่นี้เป็นการคำนวณจากแผ่นภาพที่เผยแพร่แล้วและการพิสูจน์เชิงสัญลักษณ์เท่านั้น การทดลองที่ประหยัดที่สุดคือถาดสี่เหลี่ยมผืนผ้า ลำโพงด้านล่าง และแสงเฉียง ซึ่งจะแยกแยะระหว่างสองกฎความถี่ได้ รูปแบบคลาดนีขึ้นอยู่กับรูปทรงของภาชนะ ความลึก และแรงตึงผิว ไม่มีสิ่งใดในที่นี้ทดแทนสิ่งนั้นได้
