Le fil et le carré — ce que la tradition indienne a construit avant nous

Par Anibal Edelberto Amiot — Publié le 4 octobre 2026

GéométrieSagesseLivrée

Brouillon. À relire avant toute publication, et à faire vérifier par un sanskritiste pour la partie terminologique.

Deux traditions qui se ressemblent sans s'être rencontrées

Quand j'ai commencé à construire des carrés par superposition de couches, je ne savais pas que la même opération portait un nom en sanskrit depuis sept siècles. Elle s'appelle le chādya et le chādaka — le couvert et le couvrant.

Ce texte n'est pas une revendication d'héritage. Je n'ai pas lu Nārāyaṇa Paṇḍita avant de travailler, et rien de ce que je fais n'en dérive. C'est l'inverse qui m'intéresse : deux systèmes élaborés dans des langues et des siècles différents arrivent aux mêmes objets. Quand ça se produit, ce n'est généralement pas une coïncidence — c'est que l'objet existait avant les deux.

Le cordeau : la géométrie des autels

Les Śulba Sūtra sont les plus anciens textes mathématiques de l'Inde, composés au cours du premier millénaire avant notre ère ; les plus anciens remonteraient à une période située entre 800 et 500 avant notre ère. Quatre sont mathématiquement notables, attribués à Baudhāyana, Mānava, Āpastamba et Kātyāyana.

Le mot śulba signifie cordeau. Ce sont des traités de tracé à la corde, et leur objet est rituel : construire des autels du feu dont la forme commande l'effet. Un autel en forme de faucon pour celui qui veut le ciel ; en forme de tortue pour celui qui veut le monde de Brahman.

Ce qui m'arrête, c'est ce que cet objectif les a obligés à résoudre. Pour qu'un autel change de forme sans changer d'aire, il faut savoir transformer un carré en rectangle, un rectangle en carré, et — c'est le cas célèbre — un carré en cercle. Les Śulba Sūtra énoncent aussi la relation du carré de la diagonale, avec des triplets comme (3, 4, 5) et (5, 12, 13), bien avant qu'elle porte un nom grec.

Autrement dit : une contrainte de culte a produit une géométrie des transformations qui conservent la quantité. C'est exactement la situation d'une figure qui doit changer d'aspect en gardant sa loi — et c'est la mienne.

Le carré : le bhadra-gaṇita de Nārāyaṇa Paṇḍita

En 1356, Nārāyaṇa Paṇḍita achève le Gaṇitakaumudī, « le clair de lune des mathématiques », en quatorze chapitres. Le quatorzième et dernier porte sur les carrés magiques : le bhadra-gaṇita, la mathématique du bhadra. Soixante règles, dix-sept exemples.

Ce n'est pas un recueil de curiosités. C'est une théorie de la construction, et elle procède par classification.

La classification par l'ordre modulo 4

Nārāyaṇa range les carrés selon le reste de leur ordre divisé par quatre :

classe	ordre	exemples
samagarbha	divisible par 4	4, 8, 12
viṣamagarbha	reste 2	6, 10
viṣama	impair	3, 5, 7

Garbha est la matrice, le sein ; sama l'égal, viṣama l'inégal. Les trois classes ne se construisent pas de la même façon, et la médiane — celle qui laisse 2 — est la plus rétive.

Je note, sans y avoir cherché quoi que ce soit : mon damier est de 12, donc samagarbha ; et les carrés d'ordre 6 sur lesquels porte mon travail sur la croix ansée sont viṣamagarbha, précisément la classe que la tradition signale comme la difficile. Les deux objets auxquels je me suis arrêté sont les deux classes paires de Nārāyaṇa.

Je dis bien je note. Ce n'est pas un argument, c'est une coïncidence de périmètre — mais elle m'a fait relire sa classification autrement.

La superposition de deux carrés

La méthode qui me parle le plus est celle du recouvrement. Nārāyaṇa construit un carré magique en superposant deux carrés auxiliaires, le chādya (le couvert) et le chādaka (le couvrant). Chacun est simple ; c'est leur composition qui porte la propriété.

Le couvrant est une trame de période 2 en largeur ; le couvert est sa transposée, donc de période 2 en hauteur. Ni l'un ni l'autre n'est magique. Mais les seize couples qu'ils forment sont tous distincts, et leur combinaison 4 × chādaka + chādya + 1 donne les entiers de 1 à 16 rangés de telle sorte que les seize droites du carré — quatre lignes, quatre colonnes, huit diagonales brisées — font toutes 34. J'ai vérifié les seize.

C'est, structurellement, ce que je fais : une figure n'est pas dessinée, elle est le résultat de couches combinées, et la loi vit dans la combinaison plutôt que dans le dessin. Et le point commun le plus net est celui-ci : aucune des deux couches ne porte la propriété. Elle n'apparaît qu'à la superposition — comme une parité qui n'existe dans aucun axe pris seul.

Il y a plus économe encore. Puisque le couvert est la transposée du couvrant, il n'y a pas deux trames mais une seule, posée deux fois, la seconde tournée d'un quart de tour. Toute la construction tient dans un motif et son transposé. C'est le genre de dépouillement que je cherche dans mon propre système, et le trouver là me confirme que la voie est praticable. Mon système compose des axes par une parité ; le sien compose deux tableaux par une addition. L'opération diffère, le geste est le même — déléguer la propriété à la composition.

Le pas du cheval

Son autre méthode porte un nom qui dit tout : turagagati, la marche du cheval. Les nombres se posent par pas de cavalier, par paires tirées de progressions, selon un ordre (krama) ou son renversement (utkrama).

Un parcours réglé qui engendre une figure globale : c'est encore un air de famille avec une construction par règle plutôt que par placement.

Le compte de 384

Et il compte. Nārāyaṇa écrit qu'avec quatre paires de nombres, on obtient 384 variantes d'un carré pandiagonal d'ordre 4. Le nombre a été vérifié mathématiquement par Rosser et Walker en 1938 — cinq siècles et demi plus tard.

C'est ce détail qui m'a décidé à écrire ce texte. Il ne construit pas un carré : il énumère la famille. Compter les objets d'une classe plutôt qu'en exhiber un, c'est le geste qui sépare une collection d'une théorie — et c'est celui que j'essaie de faire quand je compte mes figures.

Un glossaire, et ce qu'il ne peut pas dire

Mettre les termes de mon système en sanskrit n'a de sens que si les mots existent. Certains existent et portent exactement la bonne chose ; d'autres n'ont pas d'équivalent classique, et je préfère le dire que l'inventer.

Termes attestés dans la tradition :

sanskrit	sens classique
śulba	le cordeau — d'où la géométrie du tracé
bhadra	le carré magique ; bhadra-gaṇita, sa mathématique
koṣṭha	la case
garbha	la matrice ; samagarbha, viṣamagarbha
sama / viṣama	l'égal / l'inégal — par extension, le pair et l'impair
karṇa	la diagonale, l'hypoténuse
samacaturaśra	le carré, quadrilatère à côtés égaux
yamala	la paire
krama / utkrama	l'ordre / l'ordre renversé
chādya / chādaka	le couvert / le couvrant — les deux carrés superposés
turagagati	la marche du cheval
śreḍhī	la progression, la série
yantra	le diagramme opératoire

Ce pour quoi je n'ai pas de terme attesté, et qui demande l'avis d'un sanskritiste plutôt qu'une trouvaille de ma part : la notion de parité comme fonction d'une case, le demi-décalage, la mutabilité d'un trait, la notion de code au sens correcteur. Les mots sama et viṣama portent le pair et l'impair, mais pas la parité calculée d'un point par rapport à un ensemble d'axes. Un calque trop rapide dirait autre chose que ce que je veux dire.

C'est pourquoi le glossaire sanskrit de mon système doit rester, pour l'instant, une colonne de correspondances là où elles existent et de cases vides là où elles manquent. Une case vide est honnête ; un néologisme sanskrit forgé par un francophone ne le serait pas.

Pourquoi cela compte

Je travaille sur des carrés qui se construisent eux-mêmes à partir d'une règle, et sur une transmission qui passe par la figure autant que par le texte. Les Śulba Sūtra font de la géométrie parce qu'un autel doit garder son aire en changeant de forme. Nārāyaṇa compte les carrés parce qu'une famille se décrit mieux qu'un exemplaire.

Ce sont mes deux problèmes, posés ailleurs, autrement, et plus tôt. Les retrouver ne diminue pas ce que je fais : ça le situe. Et une chose qui se situe se transmet mieux qu'une chose qui se prétend sans ascendance.

Appel

Ce texte est publié incomplet, et je le publie quand même.

La colonne sanskrite de mon glossaire comporte des cases vides. Je sais ce que j'y veux — la parité d'une case par rapport à un ensemble d'axes, le demi-décalage, la mutabilité d'un trait — et je sais que je ne dois pas forger ces mots moi-même. Il me faut quelqu'un qui connaisse la langue et, si possible, la terminologie mathématique du bhadra-gaṇita.

Je cherche donc :

un lecteur de sanskrit pour arbitrer les correspondances et me dire lesquelles sont fausses ;
quiconque travaille sur le Gaṇitakaumudī ou sur les Śulba Sūtra et verrait ici une erreur d'interprétation ;
et, sur la partie mathématique, toute objection — j'y réponds.

Si vous relevez une faute, écrivez-moi : anibaledel@gmail.com. Je corrigerai en indiquant d'où vient la correction. Une erreur signalée vaut mieux qu'un texte retenu, et un texte retenu ne rencontre personne.

Sources

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